Question

（2012•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y=

k

x

的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．
（1）填空：双曲线的另一支在第

三

象限，k的取值范围是

k＞0

；
（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？
（3）若

OD

OC

=

1

2

，S_△OAC=2，求双曲线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线y=

k

x

的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限；
（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y=

k

x

可得到A点的坐标为（

k

2

，2），E点的坐标为（2，

k

2

），然后计算S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2，配方得

1

8

（k-2）²+

3

2

，当k=2时，S_阴影部分最小值为

3

2

，则E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点；
（3）设D点坐标为（a，

k

a

），由

OD

OC

=

1

2

，则OD=DC，即D点为OC的中点，于是C点坐标为（2a，

2k

a

），得到A点的纵坐标为

2k

a

，把y=

2k

a

代入y=

k

x

得x=

a

2

，确定A点坐标为（

a

2

，

2k

a

），根据三角形面积公式由S_△OAC=2得到

1

2

×（2a-

a

2

）×

2k

a

=2，然后解方程即可求出k的值．

解答：解：（1）三，k＞0；
（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入y=

k

x

得x=

k

2

；把x=2代入y=

k

x

得y=

k

2

，
∴A点的坐标为（

k

2

，2），E点的坐标为（2，

k

2

），
∴S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE
=

1

2

×（2-

k

2

）×（2-

k

2

）+

1

2

×2×

k

2

=

1

8

k²-

1

2

k+2
=

1

8

（k-2）²+

3

2

，
当k-2=0，即k=2时，S_阴影部分最小，最小值为

3

2

；
∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；
（3）设D点坐标为（a，

k

a

），
∵

OD

OC

=

1

2

，
∴OD=DC，即D点为OC的中点，
∴C点坐标为（2a，

2k

a

），
∴A点的纵坐标为

2k

a

，
把y=

2k

a

代入y=

k

x

得x=

a

2

，
∴A点坐标为（

a

2

，

2k

a

），
∵S_△OAC=2，
∴

1

2

×（2a-

a

2

）×

2k

a

=2，
∴k=

4

3

，
∴双曲线的解析式为y=

4

3x

．

点评：本题考查了反比例函数综合题：当k＞0时，反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象分布在第一、三象限；点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；运用梯形的性质得到平行线段，从而找到点的坐标特点．