Question

如图，已知平面直角坐标系中三个点A（-8，0）、B（2，0）、C，O为坐标原点．以AB为直径的⊙M与y轴的负半轴交于点D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）过点A作AE⊥CD，垂足为E，且AE与⊙M相交于点F，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是AE和AF．

Answer 1

（1）解：∵A（-8，0），B（2，0），
∴⊙M的圆心为（-3，0），且⊙M的半径为5．
连接MD．
在Rt△OMD中，
OD==4，
∴D（0，-4）．
设所求直线CD的解析式为y=kx+b，则由C（，0）、D（0，-4）两点，
得，
解得．
故所求直线CD的解析式为y=x-4．

（2）证明：在Rt△CDO中，CD²=OD²+OC²=4²+（）²=．
在△CDM中，MC=3+，DM=5，
∴DM²+CD²=25+．
又，
∴MD²+CD²=MC²．
∴△CDM是直角三角形，且
∠MDC=90°，CD经过半径MD的外端点D，
∴直线CD是⊙M的切线．

（3）解：由已知，AE⊥CD，由（2），MD⊥CD，
∴MD∥AE，
∴△CDM∽△CEA．
∴，即，解得AE=8．
连接BF．则∠AFB=90°．
又∠MDC=90°，∠CMD=∠CAE，
∴Rt△CDM∽Rt△BFA．
∴，即，解得AF=6．
故所求的一个一元二次方程是x²-14x+48=0．
分析：（1）已知A、B的坐标就可以求出直径AB的长，弦心距MB的长，根据垂径定理就可以求出BD的长，即得到D的坐标．根据待定系数法就可以求出CD的解析式．
（2）连接MD，根据M，C，D的坐标就可以得△CDM的三边的长，根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形．
（3）易证△CDM∽△CEA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AE，再证明Rt△CDM∽Rt△BFA，就可以得到AF，则所求的一元二次方程就可以得到．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．