题目内容
如图3，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB延长线交AE于点F．（1）求图1中∠AFB度数，并证明CD2=BD•EF；
（2）图2中∠AFB的度数为
（3）若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为
分析：（1）利用△ABE≌△BCD与△FBE∽△CBD得出
=
，从而得出原式正确；
（2）利用上面证明方法，可分别得出角度；
（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为
．
| CD |
| EF |
| BD |
| EB |
（2）利用上面证明方法，可分别得出角度；
（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为
| (n-2)•180° |
| n |
解答：解：（1）在正△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ABE=∠BCD=120°，
又∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D
又∵∠FBE=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°
由∠FBE=∠CBD，∠E=∠D得：△FBE∽△CBD
∴
=
，又BE=CD，
∴CD2=BD•EF；
（2）由以上不难得：△AEB≌△BDC进一步证出，
△BEF∽△BDC，得出，∠AFB的度数等于∠DCB=90°，
同理可得：∠AFB度数为108°，（1）中式子成立；
故填：90°，108°，成立；
（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为
．
故填：
．
∴∠ABE=∠BCD=120°，
又∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D
又∵∠FBE=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°
由∠FBE=∠CBD，∠E=∠D得：△FBE∽△CBD
∴
| CD |
| EF |
| BD |
| EB |
∴CD2=BD•EF；
（2）由以上不难得：△AEB≌△BDC进一步证出，
△BEF∽△BDC，得出，∠AFB的度数等于∠DCB=90°，
同理可得：∠AFB度数为108°，（1）中式子成立；
故填：90°，108°，成立；
（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为
| (n-2)•180° |
| n |
故填：
| (n-2)•180° |
| n |
点评：此题主要考查了正三角边形，正四边形的性质，正五边形的性质与等边三角形与相似三角形的性质，题目综合性很强．
练习册系列答案
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