题目内容

【题目】如图, 已知∠ABC=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),分别以ABAP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连接QE并延长交BP于点F. 试说明:(1)△ABP≌△AEQ;(2)EFBF

【答案】2.

【解析】(1)根据等边三角形性质得出AB=AE,AP=AQ,∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°,求出∠BAP=∠EAQ,根据SAS证△BAP≌△EAQ,推出∠AEQ=∠ABC=90°;
(2)根据等边三角形性质求出∠ABE=∠AEB=60°,根据∠ABC=90°=∠AEQ求出∠BEF=∠EBF=30°,即可得出答案.

(1)解:△BEC是等腰三角形,

理由是:∵四边形ABCD是矩形,

ADBC

∴∠DEC=∠ECB

CE平分∠DEB

∴∠DEC=∠BEC

∴∠BEC=∠ECB

BEBC

∴△BEC是等腰三角形.

(2)解:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=90°,

∵∠ABE=45°,

∴∠AEB=45°=∠ABE

AEAB

由勾股定理得:BE

BCBE2.

“点睛”本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定的应用.

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