Question

如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2+2

3

，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析：（1）连接OB、OC，证明OC⊥CE即可．因为MN是⊙O的切线，所以OB⊥MN．因∠CBN=45°可得∠OBC=∠OCB=∠BCE=45°，所以∠OCE=90°，得证；
（2）可证四边形BOCE为正方形，所以半径等于CE．
可设半径为r，在△BCE中表示BE；在△CDE中表示DE，根据BD的长得方程求解．

解答：（1）证明：连接OB、OC．
∵MN是⊙O的切线，
∴OB⊥MN．
∵∠CBN=45°，
∴∠OBC=45°，∠BCE=45°．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，
∴四边形BOCE是矩形，
又OB=OC，
∴四边形BOCE是正方形，
∴BE=CE=OB=OC=r．
在Rt△CDE中，
∵∠D=30°，CE=r，
∴DE=

3

r．
∵BD=2+2

3

，
∴r+

3

r=2+2

3

，
∴r=2，即⊙O的半径为2．

点评：此题考查了切线的判定和解直角三角形，是各地中考常出的题型，难度中等．