题目内容
关于x的二次函数y＝－x2＋(k2－4)x＋2k－2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．
(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；
(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；
(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．
解：(1)根据题意得：k2－4＝0
∴k＝±2
当k＝2时，2k－2＝2＞0
当k＝－2时，2k－2＝－6＜0
又抛物线与y轴的交点在x轴上方
∴k＝2
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2
函数的草图如图所示：
(2)令－x2＋2＝0，得x＝±
当0＜x＜时，A1D1＝2x，A1B1＝－x2＋2
∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝－2x2＋4x＋4
当x＞时，A2D2＝2x
A2B2＝－(－x2＋2)＝x2－2
∴l＝2(A2B2＋A2D2)＝2x2＋4x－4
∴l关于x的函数关系式是：
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(3)解法①：当0＜x＜时，令A1B1＝A1D1
得x2＋2x－2＝0
解得x＝－1－
(舍)，或x＝－1＋
将x＝－1＋代入l＝－2x2＋4x＋4
得l＝8－8
当x＞时，A2B2＝A2D2
得x2－2x－2＝0
解得x＝1－(舍)，或x＝1＋
将x＝1＋代入l＝2x2＋4x－4
得l＝8＋8
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且
当x＝－1＋时，正方形的周长为8－8；
当x＝1＋时，正方形的周长为8＋8．
解法②：当0＜x＜时，同“解法①”可得x＝－1＋
∴正方形的周长l＝4A1D1＝8x＝8－8
当x＞时，同“解法①”可得x＝1＋
∴正方形的周长l＝4A2D2＝8x＝8＋8
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且
当x＝－1＋时，正方形的周长为8－8；
当x＝1＋时，正方形的周长为8＋8．
解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上
∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，－x2＋2)
令AB＝AD，则
＝2x
∴－x2＋2＝2x ①
或－x2＋2＝－2x ②
由①解得x＝－1－(舍)，或x＝－1＋
由②解得x＝1－(舍)，或x＝1＋
又l＝8x
∴当x＝－1＋时，l＝8－8；
当x＝1＋时，l＝8＋8
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且
当x＝－1＋时，正方形的周长为8－8；
当x＝1＋时，正方形的周长为8＋8．
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