题目内容

【题目】如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=

【答案】π

【解析】

试题分析:(1)图1,作辅助线构建正方形OECF,设圆O的半径为r,根据切线长定理表示出AD和BD的长,利用AD+BD=5列方程求出半径=1(a、b是直角边,c为斜边),运用圆面积公式=πr2求出面积=π;

(2)图2,先求斜边上的高CD的长,再由勾股定理求出AD和BD,利用半径(a、b是直角边,c为斜边)求两个圆的半径分别是,从而求出两圆的面积和=π;

(3)图3,继续求高DM和CM、BM,利用半径(a、b是直角边,c为斜边)求三个圆的半径分别是,从而求出三个圆的面积和=π;

综上所述:发现S1+S2+S3+…+S10=π.

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