Question

小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x²-x-1=0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x²-x-1=0的解看成是二次函数y=

 

的图象与x轴交点的横坐标即x₁，x₂就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x²-x-1=0的解看成是二次函数y=

 

的图象与一个一次函数y=

 

的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x₁，x₂在x轴上标出方程的解．

Answer 1

分析：（1）用配方法解答一元二次方程；
（2）二次函数方程为y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x²-x-1=0的解，所以，只要求出方程x²-x-1=0的根，就可以求出二次函数方程为y=ax²+bx+c与x轴交点；
（3）由（1）（2）解得x₁、x₂，再根据题意画出图象．

解答：解：（1）由原方程，得：
(x-

1

2

)2-

5

4

=0，即(x-

1

2

)2=

5

4

；
解得x₁=

- 5 +1

2

，x₂=

5 +1

2

．

（2）设二次函数方程为y=ax²+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，-1），所以该点满足方程y=ax²+bx+c，
∴把（0，-1）代入方程y=ax²+bx+c，得c=-1，①
二次函数方程为y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x²-x-1=0的解；
∴x₁•x₂=

c

a

=-1，即c=-a；②
x₁+x₂=-

b

a

=1；③
由①②③，得：

a=1 b=-1 c=-1

；
∴二次函数方程为y=x²-x-1．

（3）

点评：本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题．