Question

（2012•道里区三模）如图，点P为正方形ABCD边CD上一点，点E在AP的延长线上，DE=DA，∠EDP的平分线交EP于点F，过点A作FD的垂线交FD的延长线于点G．
（1）求证：EF=

2

DG；
（2）连接BD交AP于点H，BH：HD=4：3，连接CE，若△CDE的面积为7，求DG长．

Answer 1

分析：（1）首先证明△AGD≌△DIE，进而得出GD=IE，再利用正方形的性质得出∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，即可得出答案；
（2）首先证明△ABH∽△PDH得出

DP

AB

=

DH

HB

=

3

4

，进而得出△ADP∽△ENP，利用

NE

AD

=

EP

AP

，得出NE=

28

25

x，由△CDE的面积为7，求出x，即可得出DG的长．

解答：（1）证明：如图1，
过点E作EI⊥GF于点I，
∵AG⊥GF，
∴∠G=∠DIE=90°，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠DAG+∠GDA=∠PDF+∠GDA=90°，
∴∠DAG=∠PDF，
∵∠EDP的平分线交EP于点F，
∴∠PDF=∠IDE，
∴∠DAG=∠IDE，
∵在△AGD和△DIE中

∠G=∠DIE=90° ∠PDF=∠IDE AD=DE

，
∴△AGD≌△DIE（AAS），
∴GD=IE，
在△ADE中，∠DAE+∠DEA+∠ADP+∠PDF+∠FDE=180°，
∵∠DAE=∠DEA，∠PDF=∠FDE，∠ADP=90°，
∴∠IFE=∠DFP=∠DEA+∠FDE=45°，
∴∠EF=

2

IE，
∴EF=

2

DG；

（2）解：如图2，过点D作DM⊥AP于M，过点E作EN⊥CD于N，
在正方形ABCD中，∵DP∥AB，
∴∠BAH=∠DPH，∠ABH=∠PDH，
∴△ABH∽△PDH，
∴

DP

AB

=

DH

HB

=

3

4

，
设DP=3x，则AB=AD=DC=DE=4x，
在Rt△ADP中，AP=

AD2+DP2

=5x，
∵S_△ADP=

AD•DP

2

=

AP×DM

2

，
∴DM=

12

5

x，
∴在Rt△DMP中，MP=

9

5

x，
∵tan∠DAP=

3

4

，
∠DAE=∠DEA，
∴在Rt△DNE中，ME=

16

5

x，
∴EF=

16

5

x-

12

5

x=

4

5

x，PE=

16

5

x-

9

5

x=

7

5

x，
∵∠ADP=∠ENP=90°，∠APD=∠EPN，
∴△ADP∽△ENP，
∴

NE

AD

=

EP

AP

，
∴NE=

28

25

x，
∵△CDE的面积为7，
∴

CD•EN

2

=7，
∴

4x× 28 25 x

2

=7，
∴x=

5 2

4

，
∴EF=

2

，
∵EF=

2

DG，
∴DG=1．

点评：此题主要考查了相似三角形的综合应用以及全等三角形的判定与性质等知识，正确利用数形结合得出△ADP∽△ENP进而表示出NE的长是解题关键．