Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．

Answer 1

分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要证∠PCO=90°即可；
（2）相似三角形的性质及勾股定理求出⊙O的半径；
（3）求出CE的长，BE的长，BC的长，切线的性质知∠PCA=∠B，求出Sin∠B，即为所求．

解答：（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E，
∴∠CEP=90°．
∵∠POC=∠PCE，∠P=∠P，
∴△POC∽△PCE，
∴∠PCO=∠CEP=90°．
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：∵OE：EA=1：2，
∴OE：OC=

1

3

，OC：OP=

1

3

．
∵PA=6，
∴⊙O的半径=3．

（3）解：连接BC；
∵圆的半径为3，OE：EA=1：2，
∴OE=1，
∴EC=2

2

，BE=4；
∴BC=2

6

．
∵∠PCA=∠B，
∴sin∠B=sin∠PCA=

2 2

2 6

=

3

3

．

点评：本题综合考查了相似三角形的性质，勾股定理及切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．