Question

如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
（1） 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线， ∴OA⊥AD，BD⊥AD， 又∵OA⊥OB， ∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°， ∴四边形OADB是矩形， ∵⊙C的半径为2， ∴AD=OB=4， ∵点P在直线l上， ∴点P的坐标为（4，p）， 又∵点P也在直线AP上， ∴p=4k+3；
（2）连接DN， ∵AD是⊙C的直径， ∴∠AND=90°， ∵∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN， ∴∠AND=∠ABD， 又∵∠ADN=∠AMN， ∴∠ABD=∠AMN， ∵∠MAN=∠BAP， ∴△AMN∽△ABP；
（3）存在， 理由如下： 把x=0代入y=kx+3，得y=3，即OA=BD=3， ∴AB=， ∵ S△ABD=AB·DN=AD·DB， ∴DN=， ∴AN2=AD2-DN2=， ∵△AMN∽△ABP， ∴ 即， 当点P在B点上方时， ∵AP2=AD2+PD2=AD2+（PB-BD）2=42+（4k+3-3）2=16（k2+1）， 或AP2=AD2+PD2= AD2+（BD-PB）2=42+（3-4k-3）2=16（k2+1）， S△ABP=PB·AD=（4k+3）×4=2（4k+3）， ∴， 整理得k2-4k-2=0， 解得k1=2+，k2=2-， 当点P在B 点下方时， ∵AP2=AD2+PD2=42+（3-4k-3）2=16（k2+1）， S△ABP=PB·AD=[-（4k+3）]×4=-2（4k+3）， ∴， 整理得k2+1=-（4k+3）， 解得k=-2， 综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于。