Question

△ABC是锐角三角形，BC=6，面积为12，点P在AB上，点Q在AC上，如图所示，正方形PQRS（RS与A在PQ的异侧）的边长为x，正方形PQRS与△ABC公共部分的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x；
（2）当RS不落在BC上时，求y与x的函数关系式；
（3）求公共部分面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）当RS落在BC上时，先求△ABC的BC边上的高，由△APQ∽△ABC，利用相似比求x；
（2）分为当RS落在△ABC外部或内部两种情况，当RS在△ABC外部时，由相似得公共部分的长、宽，表示面积，当RS在△ABC内部时，正方形面积即为公共部分面积；
（3）根据（1）（2）所求函数关系式，结合自变量取值范围分别求最大值，比较得出结论．

解答：解：（1）过A作AD⊥BC于D交PQ于E，则AD=4，
由△APQ∽△ABC，得

4-x

4

=

x

6

，故x=

12

5

．

（2）①当RS落在△ABC外部时，由△APQ∽△ABC，得AE=

2

3

x，
故y=x（4-

2

3

x）=-

2

3

x²+4x（

12

5

＜x≤6）；
②当RS落在△ABC内部时，y=x²（0＜x＜

12

5

）．

（3）①当RS落在△ABC外部时，y=-

2

3

x²+4x=-

2

3

（x-3）²+6  （

12

5

＜x≤6），
∴当x=3时，y有最大值6，
②当RS落在BC边上时，由x=

12

5

可知，y=

144

25

，
③当RS落在△ABC内部时，y=x²（0＜x＜

12

5

），
故比较以上三种情况可知：公共部分面积最大为6；

点评：本题考查了二次函数最值在求长方形面积中的运用．关键是根据题意表示长方形的面积，再根据自变量的取值范围及二次函数的最值求法求解．本题还考查了分类讨论的数学思想．