Question

环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗，已知一共变色了46次（一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻，称为一次变色），现可将相邻的旗子对调，如果若干次对调后，变色次数减少为26次．试说明：在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．

Answer 1

首先说明，将相邻的旗子对调一次，变色次数或不变，或增加2次，或减少2次．
显然，如果对调的两旗同色，则不改变变色数，以下为了方便，用⊙表示红色旗，用△表示黄色旗，可设对调前两旗为⊙△，
因对调一次只可能影响这两旗相邻旗子的变色数，因此（考虑对称性），只需考虑如下几种对调前的情形：
⊙⊙△△，⊙⊙△⊙，△⊙△⊙，△⊙△△（变色数依次为1，2，3，2），
将中间两旗对调后变为⊙△⊙△，⊙△⊙⊙，△△⊙⊙，△△⊙△（变色数依次为3，2，1，2）．
由此可见，变色数或不变，或增加2次，或减少2次．
由原来的变色数46，经过若干次增、减2，现在成为26，故必须经过46与26之间的所有偶数．
所以在对调过程中，必有一个时刻，彩旗的变色次数恰好为28次．