Question

如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=

k

x

与直线y=-x-（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S_△ABO=

3

2

（1）求k的值和△AOC的面积．
（2）若在双曲线上有一点P（P在第二象限），使△AOP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数k的几何意义可求得k=-3，则反比例函数的解析式为y=-

3

x

，一次函数的解析式为y=-x+2，再解两解析式所组成的方程组可确定点A、C的坐标分别是（-1，3），（3，-1），然后利用S_△AOC=S_△ADO+S_△CDO进行计算；
（2）作PE⊥x轴于E，设P点坐标为（x，y），由于S_△OAP+S_△OPE=S_梯形ABEP+S_△AOB，而S_△OPE=S_△AOB，则S_△OAP=S_梯形ABEP，于是

1

2

（y+3）（-1-x）=4，把y=-

3

x

代入后整理得到3x²+8x-3=0，解得x₁=

1

3

（舍去），x₂=-3，然后把x=-3代入反比例函数解析式即可确定P点坐标．

解答：解：（1）∵S_△ABO=

3

2

，
∴

1

2

|k|=

3

2

，
而反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0，
∴k=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-

3

x

，一次函数的解析式为y=-x+2，
根据题意得：

y=- 3 x y=-x+2

，解得

x=-1 y=3

或

x=3 y=-1

，
∴点A、C的坐标分别是（-1，3），（3，-1）．
对于y=-x+2，令x=0，解得y=2，则直线y=-x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
∴S_△AOC=S_△ADO+S_△CDO=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4；

（2）作PE⊥x轴于E，如图，设P点坐标为（x，y），
∵S_△OAP+S_△OPE=S_梯形ABEP+S_△AOB，
而S_△OPE=S_△AOB，
∴S_△OAP=S_梯形ABEP，
∴

1

2

（y+3）（-1-x）=4，
∵y=-

3

x

，
∴3x²+8x-3=0，解得x₁=

1

3

（舍去），x₂=-3，
当x=-3时，y=1，
∴P点坐标为（-3，1）．
同理，当点P在A的右侧时，P点坐标为（-

1

3

，9）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式．