题目内容

【题目】如图,A是以BC为直径的O上的一点, ADBC于点D,过点BO的切线,与CA的延长线相交于点E, FEB的中点,连结CFAD于点G.

1)求证:AFO的切线;

2)求证:AG=GD

3)若FB=FG,且O的半径长为,求BD.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)

【解析】

试题分析:(1)连接AB, OA,根据直径所对的圆周角是直角可得BAC=90°BAE=90°,根据切线的判定与性质可证明;

(2)利用相似三角形的性质与判定可证明;

(3)过点F作FHAD于点H,由等腰三角形和相似三角形的性质与判定可求解.

试题解析:(1)连接AB, OA

BC是直径

∴∠BAC=90°BAE=90°

点F是EB的中点

AF=BF=EF

AF=BF

∴∠FBA=FAB

OB=OA

∴∠OBA=OAB

∴∠FBD=FAO

BF是O的切线

∴∠FBD=90°

∴∠FAO=90°

AF是O的切线。

(2)ADBC,FBD=90°

EBAD

∴△FBC∽△GDC, EBC∽△ADC

,

EF=FB

AG=GD

(3)过点F作FHAD于点H

ADBC, FHAD

FHBC

∴∠FHG=GDO, HFG=DCG

∴△HFG∽△DCG

ADBC, FHAD,EBBC

四边形HFBD是矩形

FH=BD

FG=FB,FB=FA

FA=FG

∴△AFG是等腰三角形

,

AG=GD

设BD=x,则FH=x,CD=

∵△HFG∽△DCG

BD=

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