Question

如图所示，已知实数m是方程x²-8x+16=0的一个实数根，抛物线y=-

1

2

x²+bx+c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DE∥BC交AC于点E，又过D作DF∥AC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；
（3）设△AOC的外接圆为⊙G，若M是⊙G的优弧ACO上的一个动点，连接AM、OM，问在这个抛物线位于y轴左侧的图象上是否存在点N，使得∠NOB=∠AMO？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）解方程可求得m的值，即可确定A、C的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．
（2）欲求四边形CEDF的面积最大值，需将面积问题转化为二次函数的最值问题；可设出D点的横坐标，即可表示出DB、AD的长，易证得△BFD、△AED都与△ABC相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到△BFD和△DEA的面积表达式，而平行四边形CEDF的面积为△ABC、△BFD、△DEA的面积差，由此可得到关于平行四边形CEDF的面积和D点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形CEDF的面积最大值及对应的D点坐标．
（3）根据A、C的坐标，易知△AOC是等腰直角三角形，那么G为AC的中点，假设存在符合条件的N点，由于N在y轴左侧，那么∠NOB＜90°，若∠AMO=∠NOB，那么∠AMO必为锐角，即M在劣弧OC上；根据圆周角定理知∠AMD=∠OCA=45°，那么∠NOB=45°，即N点的横、纵坐标的绝对值相等，再联立抛物线的解析式，即可求得N点的坐标．

解答：解：（1）∵实数m是方程x²-8x+16=0的一个实数根，
∴m=4；
即A（4，0）、C（0，4），代入抛物线的解析式中，可得：

- 1 2 ×16+4b+c=0 c=4

，
解得

b=1 c=4

；
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）易知：B（-2，0），则AB=6，S_△ABC=

1

2

AB•OC=12；
设点D的坐标为：（d，0），则BD=d+2，AD=4-d；
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴

S△BDF

S△BAC

=(

BD

AB

)2=(

d+2

6

)2；
∵S_△ABC=12，
∴S_△BDF=

1

3

（d+2）²；
同理可求得：S_△ADE=

1

3

（4-d）²；
∴S_?CEDF=S_△ABC-S_△BDF-S_△ADE
=12-

1

3

（d+2）²-

1

3

（4-d）²
=-

2

3

d²+

4

3

d+

16

3

=-

2

3

（d-1）²+6；
故当d=1，即D（1，0）时，四边形CEDF的面积最大，且最大值为6．

（3）如图：
由于A（4，0）、C（0，4），那么OA=OC=4，即△OAC是等腰直角三角形；
点N在y轴左侧，那么∠NOB＜90°，
因此∠AMO也是锐角，即M在弧ACO上，由圆周角定理知：∠ACO=∠AMO=45°，
故∠NOB=∠AMO=45°；
设N点坐标为（m，n），则|m|=|n|；
当m=n时，N（m，m），代入抛物线的解析式中，得：
m=-

1

2

m²+m+4，解得：m=-2

2

（正值舍去）；
∴N（-2

2

，-2

2

）；
当m=-n时，N（m，-m），代入抛物线的解析式中，
得：-m=-

1

2

m²+m+4，
解得：m=2-2

3

（正值舍去）；
∴N（2-2

3

，2

3

-2）；
综上所述，存在符合条件的N点，且N点坐标为：N（-2

2

，-2

2

）或（2-2

3

，2

3

-2）．

点评：本题是二次函数的综合题，涉及的知识点有：二次函数解析式的确定、相似三角形的性质、三角形的外接圆、圆周角定理、图形面积的求法的重要知识点；
（2）题能够将面积问题转化为二次函数的最值问题是解得此题的关键；
（3）题中，能够判断出∠NOB的度数是关键所在，注意N点的坐标要分类讨论，不要漏解．