Question

三角板是我们数学学习必不可少的工具，如图1是一副含45°和30°的三角板，其中三角板ABC中，∠A=∠B=45°，AC=BC；三角板DEF中，∠D=60°，∠E=30°．
现在我们进行如下操作：把含30°的三角板的直角顶点F位于另一三角板的斜边中点上，边FD与AC相交于点M，边FE与BC相交于点N，将三角板DEF绕点F旋转，点M、N分别在线段AC、BC上相应移动．
（1）请你探究：当∠AFD=45°时（如图2），FM与FN有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）请你猜想：在三角板DEF绕点F旋转过程中，（1）中FM 与FN的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举反例说明（图3供实验、操作备用）．

Answer 1

分析：（1）根据题意可求得∠AFM=∠BFN，则△AFM≌△BFN（ASA），所以得到FM=FN；
（2）结论仍成立，如图，根据题意得出∠M₀FM=∠N₀FN，由外角的性质得∠MM₀F=90°，从而得出∠MM₀F=∠NN₀F，可证得△MM₀F≌△NN₀F（ASA），则FM=FN．

解答：解：（1）∵F为AB中点
∴AF=BF（1分）
∵∠AFM=45°，∠DFE=90°
∴∠BFN=180-∠AFM-∠DFE
=180-45°-90°=45°
∴∠AFM=∠BFN（2分）
在△AFM和△FBN中

∠B=∠A(已知) AF=BF ∠AFM=∠BFN

∴△AFM≌△BFN（ASA）
∴FM=FN（3分）

（2）猜想：FM=FN仍然成立（1分）
理由如下（如图）：
∵∠M₀FN₀=∠MFN=90°
∴∠M₀FN₀-∠MFN₀=∠MFN-∠MFN₀
∴∠M₀FM=∠N₀FN（2分）
∵∠MM₀F为△AM₀F的外角；
∴∠MM₀F=∠A+∠AFM₀=2×45=90°
∵∠FN₀B=180-∠B-∠BFN₀=90°
∴∠MM₀F=∠NN₀F（3分）
又由（1）可知：M₀F=N₀F
在△MM₀F和△NN₀F中

∠M0FM=∠N0FN M0F=N0F ∠MM0F=∠NN0F

∴△MM₀F≌△NN₀F（ASA）
∴FM=FN．（4分）
（其它证法酌情给分）

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质，是中档题，难度不大．