题目内容
【题目】如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求△ABC的内切圆半径；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）2
﹣
；（3）存在满足条件的N点，其坐标为（
，0）或（
，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【解析】
（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得B,C点坐标；
（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，从而即可求出内切圆的半径；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得
或
，可求得N点的坐标．
解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
又∵抛物线过原点，
∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
即y＝﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得
，
解得
或
，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
∵A（1，1），
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
设△ABC的内切圆的半径为r，
∴r＝
＝
；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，
由（2）知，AB＝，BC＝3，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC＝∠MNO＝90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有或，
①当时，
∴
，即|x||﹣x+2|＝
|x|，
∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|＝，
∴﹣x+2＝±，解得x＝或x＝，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当时，
∴
，
即|x||﹣x+2|＝3|x|，
∴|﹣x+2|＝3，
∴﹣x+2＝±3，
解得x＝5或x＝﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
