题目内容

【题目】如图,A、F、B、C是半圆O上的四个点,四边形OABC是平行四边形,∠FAB=15°,连接OF交AB于点E,过点C作CD∥OF交AB的延长线于点D,延长AF交直线CD于点H.

(1)求证:CD是半圆O的切线;

(2)若DH=,求EF的长和半径OA的长.

【答案】(1)证明过程见解析;(2EF=2-OA=2.

【解析】试题分析:(1)连接OB,根据已知条件得到△AOB是等边三角形,得到∠AOB=60°,根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°,根据平行线的性质得到OC⊥CD,由切线的判定定理即可得到结论;(2)根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°,解直角三角形得到BD=BC=AB,推出AE=AD,根据相似三角形的性质得到,求得EF=2﹣,根据直角三角形的性质即可得到结论.

试题解析:(1)连接OB∵OA=OB=OC四边形OABC是平行四边形, ∴AB=OC

∴△AOB是等边三角形, ∴∠AOB=60°∵∠FAD=15°∴∠BOF=30°∴∠AOF=∠BOF=30°

∴OF⊥AB∵CD∥OF∴CD⊥AD∵AD∥OC∴OC⊥CD∴CD是半圆O的切线;

2∵BC∥OA∴∠DBC=∠EAO=60°∴BD=BC=AB∴AE=AD∵EF∥DH∴△AEF∽△ADH

∵DH=6﹣3∴EF=2﹣∵OF=OA∴OE=OA﹣2﹣),

∵∠AOE=30°==, 解得:OA=2

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