Question

（2003•常州）如图，直线OC、BC的函数关系式分别为y=x和y=-2x+6，动点P（x，0）在OB上移动（0＜x＜3），过点P作直线l与x轴垂直．
（1）求点C的坐标；
（2）设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为s，写出s与x之间的函数关系式；
（3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象；
（4）当x为何值时，直线l平分△OBC的面积？

Answer 1

【答案】分析：（1）解两个函数解析式组成的方程组，就可以求出交点C的坐标．
（2）本题应分两种情况进行讨论，当直线l在C点的左侧和右侧两种情况．
（4）根据（3）中的函数解析式，就可以得到方程，解方程就可以解决．
解答：解：（1）解方程组，
消去y得：-2x+6=x，解得x=2，
把x=2代入y=x得：y=2，
所以，
则C点的坐标是（2，2）．

（2）过点C作CD⊥x轴于D，
当0＜x≤2时，设直线l与OC交于点M，
则=，即=，
则PM=x，
则S=OP•PM=x²；
当2＜x＜3时，△ODC的面积是×2×2=2，
∵OP=x，OD=2，则PD=x-2，CD=2，PN=-2x+6，
则梯形PNCD的面积为×（-2x+6+2）×（x-2）=（-x+4）（x-2），
因而函数解析式是s=2+（-x+4）（x-2）=-x²+6x-6；

（4）当0＜x≤2时，解方程x²=，解得x=，
当2＜x＜3时，（3-x）²=，
解得x=（舍去），x=（舍去）．
总之，当x=时，直线l平分△OBC的面积．
点评：本题是函数与三角形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．