Question

（1）自主阅读：如图1，AD∥BC，连接AB、AC、BD、CD，则S_△ABC=S_△BCD．
证明：分别过点A和D，作AF⊥BC，DE⊥BC
由AD∥BC，可得AF=DE．
又因为S_△ABC=

1

2

×BC×AF，S_△BCD=

1

2

×BC×DE
所以S_△ABC=S_△BCD
由此我们可以得到以下的结论：像图1这样，

同底等高的两三角形面积相等

．
（2）结论证明：如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段），如，平行四变形的一条对角线就是平形四边形的一条面积等分线段．
①如图2，梯形ABCD中AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，则AP即为梯形ABCD的面积等分线段，请你写出这个结论成立的理由：
②如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S_△ADC＞S_△ABC，过点A能否做出四边形ABCD的面积等分线（段）？若能，请画出面积等分线（用钢笔或圆珠笔画图，不用写作法），不要证明

Answer 1

分析：（1）根据两三角形的特殊性同底等高得出结论；
（2）①根据等底等高可得S_△ABC=S_△AEC，即可证明S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；
②连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，证明可仿照①进行．

解答：解；（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；
故答案为：同底等高的两三角形面积相等；

（2）①连接AE，因为AB∥CE，BE∥AC，所以四边形ABEC为平行四边形，
所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．


②能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．
因为S_△ACD＞S_△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：

点评：本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．