题目内容
如图1,若△ABC和△ADE为等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,M,N分别EB,CD的中点.
(1)易证:①CD=BE ;②△AMN是 三角形;
(2)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,
①求证:CD=BE;
②判断△AMN的形状,并证明你的结论;
(3)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,(2)中的结论是否成立?直接写出即可,不要求证明;并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比.
(1)等腰直角 ;(2)证明见解析;(3)(2)中的结论成立,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为:4:16:5.
【解析】
试题分析:(1)根据已知条件易得△AMN等腰直角三角形;
(2)①用SAS证明△DAC≌△EAB,易得结论;②由于△DAC≌△EAB可以推出△DAM≌△EAN,得到CD=BE,再找角之间的关系易得结论;
(3)(2)中结论成立,令AD=a,求出△ADE与△ABC及△AMN的面积,再求出比值.
试题解析:(1)等腰直角
(2)① ∵ ∠DAE=∠CAB=90°
∴ ∠DAC=∠EAB
又∵ AD=AE AC=AB
∴ △DAC≌△EAB
∴ CD=BE;
②△AMN是等腰直角三角形
∵ △DAC≌△EAB
∴∠CDA=∠BEA
∵ CD=BE
∴ DM=EN
又∵ AD=AE
∴ △DAM≌△EAN
∴ AM=AN,∠DAM =∠EAN
∵ ∠DAM+∠MAE=90°
∴ ∠EAN+∠MAE=90°
∴ ∠MAN=90°
∴△AMN是等腰直角三角形;
(3) 当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,(2)中的结论成立(或CD=BE,△AMN是等腰直角三角形)
设AD=a, 那么AC=2a (a≠0)
CD= a,AM=
△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为:::=4:16:5.
考点:1.旋转的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.等腰直角三角形.