题目内容

(2010•承德二模)如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值.

【答案】分析:(1)令y=0,解x2-2x-3=0,可得AB的坐标;将C的横坐标代入,易得其纵坐标,结合A的坐标,可得BC的方程;
(2)设出P点的横坐标,表示出P、E的坐标,可得PE长度的表达式,进而根据x的取值范围可得线段PE长度的最大值.
解答:解:(1)令y=0,解得x1=-1或x2=3,
∴A(-1,0)B(3,0);
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3
得y=-3,
∴C(2,-3),
设直线AC的解析式是y=kx+b,
把A(-1,0),C(2,-3)代入得:
解得:k=-1,b=-1,
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1;

(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)(注:x的范围不写不扣分)
则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1),E(x,x2-2x-3)
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-2+
∴当时,PE的最大值=
点评:本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力.
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