题目内容

【题目】已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2D是边AB上一动点(AB两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点

1)如图1,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GFAC

2)如图2,当90°≤α≤180°时,AEDF相交于点M

①当点M与点CD不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;

②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长

【答案】(1)证明见解析;(2)135°

【解析】

试题分析:(1)欲证明GF∥AC,只要证明∠A=∠FGB即可解决问题.

(2)①先证明A、D、M、C四点共圆,得到∠CMF=∠CAD=45°,即可解决问题.

②利用①的结论可知,点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,利用弧长公式即可解决问题.

试题解析:(1)如图1中,∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到,α=90°,∴CB与CE重合,∴∠CBE=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.

(2)①如图2中,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠CDF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A、D、M、C四点共圆,∴∠CMF=∠CAD=45°,∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°.

②如图3中,O是AC中点,连接OD、CM.

∵AD=DB,CA=CB,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,由①可知A、D、M、C四点共圆,∴当α从90°变化到180°时,点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,∵OA=OC,CD=DA,∴DO⊥AC,∴∠DOC=90°,∴的长==当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为

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