题目内容
(2010•潼南县)如图,已知抛物线y=
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连接DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】分析:(1)由于抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此只需将A、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.
(2)根据A、C的坐标,易求得直线AC的解析式,可设D点的横坐标,根据直线AC的解析式可表示出E点的纵坐标,即可得到DE的长,以DE为底,D点横坐标为高即可得到△CDE的面积,从而得到关于△CDE的面积与D点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出△CDE的面积最大值及对应的D点坐标.
(3)根据抛物线的解析式,可求出B点的坐标,进而能得到直线BC的解析式,设出点P的横坐标,根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标,然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长,从而根据:①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC,三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标.
解答:解:(1)由于抛物线经过A(2,0),C(0,-1),
则有:
,
解得
;
∴抛物线的解析式为:y=
-
x-1.
(2)∵A(2,0),C(0,-1),
∴直线AC:y=
x-1;
设D(x,0),则E(x,
x-1),
故DE=0-(
x-1)=1-
x;
∴△DCE的面积:S=
DE×|xD|=
×(1-
x)×x=-
x2+
x=-
(x-1)2+
,
因此当x=1,
即D(1,0)时,△DCE的面积最大,且最大值为
.
(3)由(1)的抛物线解析式易知:B(-1,0),
可求得直线BC的解析式为:y=-x-1;
设P(x,-x-1),因为A(2,0),C(0,-1),则有:
AP2=(x-2)2+(-x-1)2=2x2-2x+5,
AC2=5,CP2=x2+(-x-1+1)2=2x2;
①当AP=CP时,AP2=CP2,有:
2x2-2x+5=2x2,解得x=2.5,
∴P1(2.5,-3.5);
②当AP=AC时,AP2=AC2,有:
2x2-2x+5=5,解得x=0(舍去),x=1,
∴P2(1,-2);
③当CP=AC时,CP2=AC2,有:
2x2=5,解得x=±
,
∴P3(
,-
-1),P4(-
,
-1);
综上所述,存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(2.5,-3.5)、P2(1,-2)、P3(
,-
-1)、P4(-
,
-1).
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件等重要知识,同时还考查了分类讨论、数形结合的数学思想,难度较大.
(2)根据A、C的坐标,易求得直线AC的解析式,可设D点的横坐标,根据直线AC的解析式可表示出E点的纵坐标,即可得到DE的长,以DE为底,D点横坐标为高即可得到△CDE的面积,从而得到关于△CDE的面积与D点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出△CDE的面积最大值及对应的D点坐标.
(3)根据抛物线的解析式,可求出B点的坐标,进而能得到直线BC的解析式,设出点P的横坐标,根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标,然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长,从而根据:①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC,三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标.
解答:解:(1)由于抛物线经过A(2,0),C(0,-1),
则有:

解得

∴抛物线的解析式为:y=


(2)∵A(2,0),C(0,-1),
∴直线AC:y=


设D(x,0),则E(x,

故DE=0-(


∴△DCE的面积:S=







因此当x=1,
即D(1,0)时,△DCE的面积最大,且最大值为

(3)由(1)的抛物线解析式易知:B(-1,0),
可求得直线BC的解析式为:y=-x-1;
设P(x,-x-1),因为A(2,0),C(0,-1),则有:

AP2=(x-2)2+(-x-1)2=2x2-2x+5,
AC2=5,CP2=x2+(-x-1+1)2=2x2;
①当AP=CP时,AP2=CP2,有:
2x2-2x+5=2x2,解得x=2.5,
∴P1(2.5,-3.5);
②当AP=AC时,AP2=AC2,有:
2x2-2x+5=5,解得x=0(舍去),x=1,
∴P2(1,-2);
③当CP=AC时,CP2=AC2,有:
2x2=5,解得x=±

∴P3(




综上所述,存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(2.5,-3.5)、P2(1,-2)、P3(




点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件等重要知识,同时还考查了分类讨论、数形结合的数学思想,难度较大.

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