Question

分别以?ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF；

（2）GF⊥EF，GF=EF成立；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠DAF+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°，
∴∠EAF+∠CDF=45°，
∵∠CDF+∠GDF=45°，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出△EAF≌△GDF是解题关键．