Question

我们已经学过几种基本的尺规作图，如：作一个角的平分线．还有“过一个点作已知直线的垂线”也是一种基本的尺规作图．（一）当这个点在这条已知直线上时，可以像图（1）那样作出，OC就是所要求作的垂线；（二）当这个点在这条已知直线外时，作法如下：在直线AB的另一侧任取一点K；以点C为圆心，CK为半径画弧，交直线AB于点E、F；分别以点E、F为圆心，以略大于

1

2

EF的长度为半径画弧，两弧相交于点D；经过点C、D画直线m；则直线CD就是所要求作的垂线．
试回答下列问题：
（1）在作图（一）中OC为什么是直线AB的垂线？
（2）（Ⅰ）在作图（二）中，求证：直线m⊥AB．

Answer 1

分析：（1）根据平角和直角的定义作答；
（2）由作图过程可得CE=CF=DE=DF，则△CDE≌△CDF，可得m平分∠ECF，由等腰三角形三线合一的性质可得m⊥AB．

解答：解：
（1）∵∠AOB=180°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=90°，
∴OC⊥AB；

（2）由作图过程可得CE=CF=DE=DF，
又∵CD是公共边，
∴△CDE≌△CDF，
∴∠ECD=∠FCD，
即m平分∠ECF，
∴m⊥AB（等腰三角形的三线合一）．

点评：此题考查过直线上一点和直线外一点作已知直线的垂线的证法，利用了垂线的定义和等腰三角形的性质求证．