题目内容

车厘子就是英语单词cherries（樱桃）的音译，车厘子的含铁量特别高，位于各种水果之首，常食车厘子可补充体内对铁元素的需求，促进血红蛋白再生，既可防治缺铁性贫血．又可增强体质，健脑益智，车厘子营养丰富，具有调中益气，健脾和胃，祛风湿，“令人面孔好颜色”之功效，对食欲不振，消化不良，风湿身痛等等均有益处．2011年1月份至6月份重庆市某商场车厘子销售价格y（元）与月份x（1≤x≤6且x为整数）之间的函数关系式如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6
销售价格y 120 60 40 30 24 20
7月份至12月份车厘子销售价格y（元）与月份x之间满足函数关系式：y=2x+30（7≤x≤12，且x为整数），该商场去年车厘子销售数量z（千克）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间存在如图所示的变化趋势；若去年该商场车厘子的进价为每千克20元，销售车厘子需要1位员工，该员工每月工资1000元，为了调动该员工的积极性，商场决定每卖出1千克车厘子，该员工提成1元．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出2011年1月份至6月份销售价格y与x之间的函数关系式；根据如图所示的变化趋势，直接写出z与x之间满足的函数关系式；
（2）求去年该商场哪个月销售车厘子的利润最大，并求出这个最大利润；
（3）今年商场取消了员工销售提成，但是员工工资由每月1000元调整为每月2500元，今年车厘子的进价与去年相同，今年1月份，销售价格虽比去年12月份增加6元，但每月销售数量仍比去年12月份增2a%；2月份和3月份，车厘子销售价格比1月份增加了a%，为了促销，该商场又聘请了1位员工销售车厘子，工资也是每月2500元，结果由于其他水果的上市，2月份和3月份每个月销售数量正好与今年1月份持平，若该商场今年2月份和3月份总利润为62000元，请你参考以下数据，估算出a的整数值．
（参考数据：7.5²=56.25，8.5²=4225，9.5²=9025）

解：（1）设2011年1月份至6月份销售价格y与x之间的函数关系式为：y= $\text{[math]}$ （1≤x≤6），
将点（1，120）代入可得：120= $\text{[math]}$ ，
解得：k=120，
故可得y= $\text{[math]}$ （1≤x≤6），
由函数图象可得：z= $\text{[math]}$ ；

（2）设去年第x月的利润为W，
1≤x≤6时，W=（y-20-1）z-1000=（ $\text{[math]}$ -21）•200x=-4200x+23000，
∵-4200＜0，
∴w随x的增大而减小，
∵1≤x≤6且为整数，
∴当x=1时，W_max=18800元；
7≤x≤12时，W=（y-20-1）z-1000
=-200x²+2700x+15200，
∴- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵7≤x≤12且为整数，
∴当x=7时，W_max=24300元，
∵18800＜24300，
∴去年该商场7月份销售车厘子的利润最大，最大利润为24300元．

（3）当x=12时，y=2×12+30=54元/千克，z=600千克，
则今年1月份的销售价格为：54+6=60元/千克，2月份、3月份的销售价格为60（1+a%），销量为600（1+2a%）千克，
由题意得，2×[60（1+a%）-20]•600（1+2a%）-2500×2×2=62000，
令m=a%，
化简得：6m²+7m-1=0，
解得：m₁= $\text{[math]}$ ，m₂= $\text{[math]}$ ＜0，故舍去，
∵7.5²=56.25，8.5²=72.25，9.5²=90.25，
∴73更接近72.25，
∴ $\text{[math]}$ ≈8.5，
∴m≈ $\text{[math]}$ ≈0.125，
∴a=13．
答：估算出a的整数值为13．
分析：（1）根据表格可得2011年1月份至6月份销售价格y与x成反比例函数关系，从而利于待定系数法可确定函数关系式；结合函数图象，可得z与x的函数关系式；
（2）设去年第x月的利润为W，分别求出1≤x≤6时及7≤x≤12时利润的最大值，继而比较可得出答案；
（3）求出去年12月的销售价格、销售量，得出1月份、2月、3月份的销量及销售价格，根据该商场今年2月份和3月份总利润为62000元，可得出方程，解出即可估算a的整数值．
点评：本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，题目信息量较大，解答本题的关键仔细审题、读图，得到解题需要的信息，然后将实际问题用函数的知识表示出来，注意掌握配方法求二次函数的最值，难度较大．