Question

若n是质数，且分数

n-4

n+17

不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n=

 

或

 

．

Answer 1

分析：先根据分数

n-4

n+17

不约分或经过约分后是一个最简分数的平方可设n+17=ka²，n-4=kb²，由n是质数判断出n的取值范围，再根据

n-4

n+17

是最简分数和不是最简分数两种情况进行讨论．

解答：解：根据题意可设n+17=ka²…①，n-4=kb²，…②，最简分数的平方就是：

kb2

ka2

=（

b

a

）²，两式相减，得k（a²-b²）=21，
k（a+b）（a-b）=1×3×7
可知，质数n必定大于4，否则n-4将小于0，所以n是奇质数，则n-4为奇数，n+17为偶数．可知a+b＞a-b，所以
①若

n-4

n+17

是最简分数，则有
k=1，
a+b=7，
a-b=3，
解得：a=5，b=2，此时n-4=4，为偶数，不符；
或者：k=1，
a+b=21，
a-b=1，
解得：a=11，b=10，此时n-4=100，为偶数，不符；
②所以

n-4

n+17

不是最简分数，则有
k=3，
a+b=7，
a-b=1，
解得：a=4，b=3，此时n=31，n-4=27，n+17=48，

n-4

n+17

=

27

48

=

9

16

=（

3

4

）²，符合要求；
或者：k=7，
a+b=3，
a-b=1，
解得：a=2，b=1，此时n=11，n-4=7，n+17=28，

n-4

n+17

=

7

28

=

1

4

=（

1

2

）²，符合要求．
综上所述，n的值为31和11．
故答案为：31或11．

点评：本题考查的是质数与合数的定义，在解答此题时一定要分

n-4

n+17

是最简分数和不是最简分数两种情况讨论，不要漏解．