题目内容
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m,面积为1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学进行设计加工方案,甲设计方案如图1,乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好?试说明理由.(加工损耗忽略不计,计算结果中可保留分数)分析:利用正方形的对边平行.寻找相似三角形,由“相似三角形对应边的比,等于对应边上高的比”的性质,列出等量关系,计算正方形的边长x、y,比较大小,选择合理方案.
解答:解:由AB=1.5m,S△ABC=1.5m2,可得BC=2m,
由图1,若设甲设计的正方形桌面边长为xm,
由DE∥AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA,
∴
=
,即
=
,
∴3-1.5x=2x,x=
=
,
由图2,过点B作Rt△ABC斜边AC上的高,
BH交DE于P,交AC于H.
由AB=1.5m,BC=2m,
得AC=
=
=2.5(m),
由AC•BH=AB•BC可得,
BH=
=
=1.2m,
设乙设计的桌面的边长为ym,
∵DE∥AC,
∴Rt△BDE∽Rt△BAC,
∴
=
,
即
=
,解得y=
,
∵
=
>
,
∵x2>y2,
∴甲同学设计的方案较好.
由图1,若设甲设计的正方形桌面边长为xm,
由DE∥AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA,
∴
x |
AB |
BC-x |
BC |
x |
1.5 |
2-x |
2 |
∴3-1.5x=2x,x=
3 |
3.5 |
6 |
7 |
由图2,过点B作Rt△ABC斜边AC上的高,
BH交DE于P,交AC于H.
由AB=1.5m,BC=2m,
得AC=
AB2+BC2 |
1.52+22 |
由AC•BH=AB•BC可得,
BH=
AB•BC |
AC |
1.5×2 |
2.5 |
设乙设计的桌面的边长为ym,
∵DE∥AC,
∴Rt△BDE∽Rt△BAC,
∴
BP |
BH |
DE |
AC |
即
1.2-y |
1.2 |
y |
2.5 |
30 |
37 |
∵
6 |
7 |
30 |
35 |
30 |
37 |
∵x2>y2,
∴甲同学设计的方案较好.
点评:本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力.利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
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