题目内容

【问题】如图甲,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=
3
,PC=1,求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
【探究】解题思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,如图乙所示,连接PP′.
(1)△P′PB是
 
三角形,△PP′A是
 
三角形,∠BPC=
 
°;
(2)利用△BPC可以求出△ABC的边长为
 

【拓展应用】
如图丙,在正方形ABCD内有一点P,且PA=
5
,BP=
2
,PC=1;
(3)求∠BPC度数的大小;
(4)求正方形ABCD的边长.
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分析:【探究】将△BPC绕点B顺时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PB是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,进而求出等边△ABC的边长为
7
,问题得到解决.
【拓展应用】求出∠BEP=
1
2
(180°-90°)=45°,根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°,推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°;过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点F,求出FE=BF=1,AF=2,关键勾股定理即可求出AB.
解答:解:精英家教网(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′,
∴AP′=CP=1,BP′=BP=
3
,∠PBC=∠P′BA,∠AP′B=∠BPC,
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPP′是等边三角形,
∴PP′=
3
,∠BP′P=60°,
∵AP′=1,AP=2,
∴AP′2+PP′2=AP2
∴∠AP′P=90°,则△PP′A是 直角三角形;
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°;

(2)过点B作BM⊥AP′,交AP′的延长线于点M,
∴∠MP′B=30°,BM=
3
2

由勾股定理得:P′M=
3
2

∴AM=1+
3
2
=
5
2

由勾股定理得:AB=
AM2+BM2
=
7

故答案为:(1)等边;直角;150;
7


(3)将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB,
与(1)类似:可得:AE=PC=1,BE=BP=
2
,∠BPC=∠AEB,∠ABE=∠PBC,
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,
∴∠BEP=
1
2
(180°-90°)=45°,
由勾股定理得:EP=2,
∵AE=1,AP=
5
,EP=2,
∴AE2+PE2=AP2
∴∠AEP=90°,
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°;

(4)过点B作BF⊥AE,交AE的延长线于点F;
∴∠FEB=45°,
∴FE=BF=1,
∴AF=2;
∴在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB=
5

∴∠BPC=135°,正方形边长为
5

答:(3)∠BPC的度数是135°;

(4)正方形ABCD的边长是
5
点评:本题主要考查对勾股定理及逆定理,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,正方形的性质,旋转的性质等知识点的理解和掌握,正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键.
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