Question

【题目】（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．

（1）填空：点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；

（2）设点P的坐标为（a，0），当最大时，求a的值并在图中标出点P的位置；

（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？

Answer 1

【答案】（1）C（0，3），D（1，4）；（2）a=﹣3；（3）S=，当t=时，S有最大值．

【解析】试题分析：（1）令x=0，得到C的坐标，把抛物线配成顶点式，可得顶点D的坐标；

（2）延长CD交x轴于点P．因为小于或等于第三边CD，所以当等于CD时， 的值最大．因此求出过CD两点的解析式，求它与x轴交点坐标即可；

（3）过C点作CE∥x轴，交DB于点E，求出直线BD的解析式，得到点E的坐标，求出P′C′与BC的交点M的坐标，分两种情况讨论：①点C′在线段CE上；②点C′在线段CE的延长线上，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S，再求得其最大值即可．

试题解析：（1）在中，令x=0，得到y=3，∴C（0，3），∵=，∴D（1，4），故答案为：C（0，3），D（1，4）；

（2）∵在三角形中两边之差小于第三边，∴延长DC交x轴于点P，设直线DC的解析式为，把D、C两点坐标代入可得： ，解得： ，∴直线DC的解析式为，将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，如图1，点P（﹣3，0）即为所求；

（3）过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，

由（2）得直线DC的解析式为，易求得直线BD的解析式为，直线BC的解析式为，在中，当y=3时，x=，∴E点坐标为（，3），设直线P′C′与直线BC交于点M，∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t），∴直线P′C′的解析式为，联立： ，解得： ，∴点M坐标为（， ），∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0），∴直线B′C′的解析式为，

分两种情况讨论：①当时，如图2，B′C′与BD交于点N，联立：，解得： ，∴N点坐标为（3﹣t，2t），S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=，其对称轴为t=，可知当时，S随t的增大而增大，当t=时，有最大值；

②当时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，

联立： ，解得： ，∴N点坐标为（， ），S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×==；

显然当＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t=时，S=

综上所述，S与t之间的关系式为S=，且当t=时，S有最大值，最大值为．

∵，∴当t=时，S有最大值．