题目内容
【题目】如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= .
【答案】.
【解析】
试题分析:(1)如图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E、F,则∠OEC=∠OFC=90°,∵∠C=90°,∴四边形OECF为矩形.∵OE=OF,∴矩形OECF为正方形.设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3﹣r,BD=4﹣r.∴3﹣r+4+r=5,∴S1=π×12=π; (2)图2,由S△ABC=
,∴CD=
.
在Rt△ACD中:,∴
.由(1)得:⊙O的半径为
,⊙E的半径为
.∴
.
(3)图3,由S△CDB=,∴
.∴
,
.由(1)得:⊙O的半径=
,:⊙E的半径=
,:⊙F的半径=
.∴S1+S2+S3=π.同理可得S1+S2+S3+S4=.则S1+S2+S3+…+S10=π.
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