Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是 ．
（2）抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，则点P的坐标为 ．

Answer 1

【答案】
（1）0＜t＜3或t=4
（2）（ ， ）或（﹣5，﹣32）
【解析】解：（1）由题意，抛物线只能沿y轴向下平移， ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴设平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4﹣t（t＞0），
当原点O落在平移后的抛物线上时，把（0，0）代入得：
0=﹣（0﹣1）2+4﹣t，
解得t=3；
当平移后的抛物线的顶点落在x轴上时，x=1，y=0
即0=﹣（1﹣1）2+4﹣t，
解得t=4，
∵平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点
∴0＜t＜3或t=4，
故答案为：0＜t＜3或t=4；
⑵当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得：x=﹣1或x=3，
即A（﹣1，0）、B（3，0），
取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN，

则AN=CN，
∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC﹣∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴ = ，
∴CN= = = = ，
∴NO=CO﹣CN=3﹣ = ，
∴tan∠NAO= = ；
当点P在BC上方时，设为P1 ， 过B作BD⊥BC交直线CP1于D，过D作DE⊥x轴于E
∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴ = = =tan∠BCP1=tan∠NAO= ，
∴BE= CO=4，DE= BO=4，OE=3+4=7
∴D（7，4）
设直线CP1的解析式为y=k1x+3，把（7，4）代入
4=7k1+3，
∴k1= ，
∴y= x+3
令﹣x2+2x+3= x+3，
解得x1=0（舍去），x2=
∴P1（ ， ），
当点P在BC下方时，设为P2（m，n），
则∠BCP2=∠BCP1
延长DB交直线CP2于E，则点B是DE的中点
∴
解得 ，
∴E（﹣1，﹣4）
设直线CP2的解析式为y=k2x+3，把（﹣1，﹣4）代入﹣4=﹣k2+3，
∴k2=7，
∴y=7x+3
令﹣x2+2x+3=7x+3，
解得x1=0（舍去），x2=﹣5
∴P2（﹣5，﹣32）
综上所述，抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，
P点坐标为（ ， ）或（﹣5，﹣32），
故答案为：（ ， ）或（﹣5，﹣32）．
（1）把函数化为顶点式y=a（x﹣h）2+k的形式，向下平移使抛物线与x轴只有一个交点，即把解析式中的k变成0即可．（2）取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN则AN=CN，∠ACO=∠CAN，通过△MCN∽△OCA，求得CN的值，进而求得NO的值，从而得出tan∠NAO= = ；当P在BC的上方时，设为P1 ， 过B作BD⊥BC交直线CP1于D，过D作DE⊥x轴于E，通过证明△BDE∽△CBO，进而求得tan∠BCP1=tan∠NAO= ，从而确定D点的坐标，把D点代入直线CP1的解析式为y=k1x+3，求得P1点的坐标；当点P在BC下方时，设为P2（m，n），则∠BCP2=∠BCP1 ， 延长DB交直线CP2于E，则点B是DE的中点，求得E点坐标，代入直线CP2的解析式为y=k2x+3，即可求得P2的坐标．