Question

如图，边长为12的正三角形ABC内接于圆，弦DE∥BC分别交AB，AC于F，G，若AF长x，DF长y都是正整数，则y的值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、6

Answer 1

分析：由已知可得DE=x+2y，过O点作OH⊥BC，垂足为H，连接OB，根据已知条件可求半径OB，由DE≤2OB，列不等式，再根据相交弦定理及x、y为正整数求解．

解答：解：过O点作OH⊥BC，垂足为H，连接OB，
在Rt△OBH中，BH=

1

2

BC=6，∠OBH=

1

2

∠ABC=30°，
∴OB=

BH

cos30°

=4

3

，
根据圆的对称性及等边三角形的性质可知，DE=x+2y，
由DE≤2OB，得x+2y≤8

3

≈13.8，
又由相交弦定理，得AF×BF=DF×FE，
即x（12-x）=y（x+y），
当x=1时，方程为y²+y-11=0，y无正整数解，
当x=2时，方程为y²+2y-20=0，y无正整数解，
当x=3时，方程为y²+3y-27=0，y无正整数解，
当x=4时，方程为y²+4y-32=0，y=-8或4（舍去负数），
而x=4，y=4满足x+2y≤8

3

，
故选C．

点评：本题考查了三角形外接圆的性质，等边三角形的性质，相交弦定理的运用．关键是明确DE的取值范围，根据x、y为正整数，分类讨论．