题目内容
【题目】已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点.
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
(3)若⊙O的半径为5,AB=12,求DE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)DE与⊙O相切,证明见解析;(3)DE=4.8.
【解析】
(1)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角可得:CD⊥AB,再根据三线合一即可证出;
(2)连接OD,根据中位线的性质可得:OD∥AC,再根据平行线的性质可得OD⊥DE,从而证出DE与⊙O相切;
(3)过点D作DF⊥BC于F,由三线合一可知:CD平分∠ACB,BD=AB=6,根据勾股定理可求出CD,根据△BDC的面积的两种求法列方程,即可求出DF,从而求出DE.
解:(1)连接CD
∵BC为⊙O的直径
∴CD⊥AB
∵BC=AC
∴AD=BD
即点D是AB的中点
(2) DE与⊙O相切 ,理由如下
连接OD
∵AD=BD,OB=OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切
(3)过点D作DF⊥BC于F,
∵BC=AC,CD⊥AB
∴CD平分∠ACB,BD=AB=6
∴DE=DF
∵⊙O的半径为5
∴BC=10
根据勾股定理可得:CD=
∵S△BDC=BD·CD=
BC·DF
∴×6×8=
×10·DF
解得:DF=4.8
∴DE= DF=4.8

【题目】2017年的淘宝双十一,开场11秒后,销售额突破十亿,3分钟破百亿,最终成交额定格在1682亿元上,在今年的双十一前夕,某企业生产一种必需商品作为双十一的主打商品,经过之前的长期市场调查后发现,商品的月总产量稳定在600件,商品的月销售量a(件)由固定销售量与浮动销售量两个部分组成,其中固定销售量保持不变,浮动销售量与售价x(元/件)(x≤10)成反比,且得到了如下表格中的信息:
售价x(元/件) | 5 | 8 |
月销售量Q(件) | 580 | 400 |
(1)求Q关于x的函数关系式;
(2)若生产的所有商品正好销售完,求售价x;
(3)求售价x为多少时,月销售额最大,并求这个最大值.