题目内容
【题目】已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：点D是AB的中点.
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.
(3)若⊙O的半径为5，AB=12，求DE的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)DE与⊙O相切，证明见解析；(3)DE=4.8.
【解析】
（1）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角可得：CD⊥AB，再根据三线合一即可证出；
（2）连接OD，根据中位线的性质可得：OD∥AC，再根据平行线的性质可得OD⊥DE，从而证出DE与⊙O相切；
（3）过点D作DF⊥BC于F，由三线合一可知：CD平分∠ACB，BD=
AB=6，根据勾股定理可求出CD，根据△BDC的面积的两种求法列方程，即可求出DF，从而求出DE.
解：(1)连接CD
∵BC为⊙O的直径
∴CD⊥AB
∵BC=AC
∴AD=BD
即点D是AB的中点
(2) DE与⊙O相切 ，理由如下
连接OD
∵AD=BD，OB=OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切
(3)过点D作DF⊥BC于F，
∵BC=AC，CD⊥AB
∴CD平分∠ACB，BD=AB=6
∴DE=DF
∵⊙O的半径为5
∴BC=10
根据勾股定理可得：CD=
∵S△BDC=BD·CD=BC·DF
∴×6×8=×10·DF
解得：DF=4.8
∴DE= DF=4.8
【题目】2017年的淘宝双十一，开场11秒后，销售额突破十亿，3分钟破百亿，最终成交额定格在1682亿元上，在今年的双十一前夕，某企业生产一种必需商品作为双十一的主打商品，经过之前的长期市场调查后发现，商品的月总产量稳定在600件，商品的月销售量a（件）由固定销售量与浮动销售量两个部分组成，其中固定销售量保持不变，浮动销售量与售价x（元/件）（x≤10）成反比，且得到了如下表格中的信息：
售价x（元/件） | 5 | 8 |
月销售量Q（件） | 580 | 400 |
（1）求Q关于x的函数关系式；
（2）若生产的所有商品正好销售完，求售价x；
（3）求售价x为多少时，月销售额最大，并求这个最大值．
