题目内容

【题目】已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点DDEAC,垂足为点E.

(1)求证:点DAB的中点.

(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论.

(3)若⊙O的半径为5AB=12,求DE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)DE与⊙O相切,证明见解析;(3)DE=4.8.

【解析】

1)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角可得:CDAB,再根据三线合一即可证出;

2)连接OD,根据中位线的性质可得:ODAC,再根据平行线的性质可得ODDE,从而证出DE与⊙O相切;

3)过点DDFBCF,由三线合一可知:CD平分∠ACBBD=AB=6,根据勾股定理可求出CD,根据△BDC的面积的两种求法列方程,即可求出DF,从而求出DE.

解:(1)连接CD

BC为⊙O的直径

CDAB

BC=AC

AD=BD

即点DAB的中点

(2) DE与⊙O相切 ,理由如下

连接OD

AD=BDOB=OC

ODAC

DEAC

ODDE

DE与⊙O相切

(3)过点DDFBCF

BC=ACCDAB

CD平分∠ACBBD=AB=6

DE=DF

∵⊙O的半径为5

BC=10

根据勾股定理可得:CD=

SBDC=BD·CD=BC·DF

×6×8=×10·DF

解得:DF=4.8

DE= DF=4.8

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