题目内容
如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙Ol于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；
（2）求证：PD•PA=PC2+AC•DC；
（3）若PE=3，PA=6，求PC的长．
分析：（1）过P作两圆的公切线PT，即可得出答案；
（2）由AC•DC=PC•CF，PC2+AC•DC=PC2+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．即要证PC•PF=PD•PA，由△PDC∽△PFA可得；
（3）由△PCA∽△PEC，得
=
，即PC2=PA•PE，得PC=3
．
（2）由AC•DC=PC•CF，PC2+AC•DC=PC2+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．即要证PC•PF=PD•PA，由△PDC∽△PFA可得；
（3）由△PCA∽△PEC，得
| PC |
| PE |
| PA |
| PC |
| 2 |
解答：
解：（1）过P作两圆的公切线PT，
根据弦切角定理得：∠PCD=∠PBC
∠PCB=∠PDC
∴∠DPC=∠APC，
∴PC平分∠APD；
（2）∵AC•DC=PC•CF，
∴PC2+AC•DC=PC2+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．
∵△PDC∽△PFA，
∴PC•PF=PD•PA，
∴PD•PA=PC2+AC•DC；
（3）∵△PCA∽△PEC，
∴
=
，
即PC2=PA•PE，
∵PE=3，PA=6，
∴PC=3
．
解：（1）过P作两圆的公切线PT，根据弦切角定理得：∠PCD=∠PBC
∠PCB=∠PDC
∴∠DPC=∠APC，
∴PC平分∠APD；
（2）∵AC•DC=PC•CF，
∴PC2+AC•DC=PC2+PC•CF=PC（PC+CF）=PC•PF．
∵△PDC∽△PFA，
∴PC•PF=PD•PA，
∴PD•PA=PC2+AC•DC；
（3）∵△PCA∽△PEC，
∴
| PC |
| PE |
| PA |
| PC |
即PC2=PA•PE，
∵PE=3，PA=6，
∴PC=3
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．
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11、如图，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点．①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PB•PC=OlA•O2A．上述结论，正确结论的个数是（B ）
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