Question

（2013•苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，点D为y轴上一点，⊙D与坐标轴分别相交于A（-

3

，0）、C（0，3）及B、F四点．
（1）求⊙D的半径．
（2）E为优弧AB上一动点（不与A，B，C三点重合），M为半径DE的中点，连接M0，若∠MOD=α°，弧CE的长为y，求y与α之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点E作EN⊥x轴于点N连接MN，当∠ENM=15°时，求E点的坐标，并判断以DE为直径的⊙M与直线DN的位置关系．

Answer 1

分析：（1）连接AD，设AD=r，则OD=OC-CD=OC-AD=3-r，在直角三角形ADO中利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可；
（2）连接DE，EF，OM，由（1）可知圆的半径为2，所以DF=2，因为OD=OC-CD=3-2=1，所以OD=OF，因为M为半径DE的中点，所以OM是△DEF的中位线，OM∥EF，由平行线的性质和圆周角定理以及弧长公式即可求出弧CE的长即y与α之间的函数关系式；
（3）过D作DH⊥EN于H点，则HN=OD=1，延长NM交y轴于点P，连接OM，在Rt△DHE中，DE=2，DH=1，EH=

3

，ON=DH=1，EN=1+

3

，所以E（1，1+

3

），根据轴对称性可知，点E在第二象限的对称点（-1，

3

+1），故点E的坐标为：（1，

3

+1）或（-1，

3

+1）．

解答：解：（1）连接AD（如图1），设AD=r，
∵A（-

3

，0）、C（0，3）
∴AO=

3

，OC=3，
∴OD=OC-CD=OC-AD=3-r，
在Rt△AOD中，AD²=OD²+AO²，
∴r²=（3-r）²+

3

²，
解得：r=2，
∴⊙D的半径是2；

（2）连接DE，EF，OM（如图2），
由（1）可知圆的半径为2，∴DF=2，
∵OD=OC-CD=3-2=1，
∴OD=OF，
∵M为半径DE的中点，
∴OM是△DEF的中位线，
∴OM∥EF，
∴∠MOD=∠DFE=

1

2

∠EDC，
∵∠MOD=α°，
∴弧CE的长为y=

nπr

180

=

2απ×2

180

=

πα

45

；

（3）过D作DH⊥EN于H点，则HN=OD=1，延长NM交y轴于点P，连接OM（如图3），
易证△ENM≌△DPM，
∵MP=NM，∠PON=90°，OM=MP，
∴∠MOP=∠MPO，
∴∠OMN=2∠OPM，
∵OD=DM，
∴∠DOM=∠DMO，
∴∠DMN=∠POM+2∠OPM=3∠OPM，
∴∠DMN=3∠MNE，∠DMN=45°，
∵∠MNE=15°，
∴∠E=30°
在Rt△DHE中，DE=2，DH=1，EH=

3

，ON=DH=1，EN=1+

3

，
∴E（1，1+

3

），
根据轴对称性可知，点E在第二象限的对称点（-1，

3

+1），
故点E的坐标为：（1，

3

+1）或（-1，

3

+1）．
以DE为直径的⊙M与直线DN的位置关系是：相交．

点评：本题考查了勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、圆周角定理以及圆的轴对称的性质和弧长公式的运用，题目的综合性很强，对学生的解题能力要求很高．