题目内容
【题目】如图，直线l1：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，其中点B的坐标为（0，6），∠BAO=30°将直线l1沿着y轴正方向平移一段距离得到直线l2交y轴于点M，且l1与l2之间的距离为3，点C（x，y）是直线11上的一个动点，过点C作AB的垂线CD交y轴于点D．
（1）求点M的坐标和直线l1的解析式；
（2）当C运动到什么位置时，△AOD的面积为21
，求出此时点C的坐标；
（3）连接AM，将△ABM绕着点M旋转得到△A'B'M，在平面内是否存在一点N．使四边形AMA'N为矩形？若存在，求出点N的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）M(0，6+2
)，直线l1的解析式为：y＝
x+6；（2）点C的坐标为：(-
，
)或(
，
)；（3）点N的坐标为：(-6-8，6)或(6-4，-6)．
【解析】
（1）过点B作BH⊥l1于点H，由l1∥l2，得∠BMH=∠OBA=60°，进而得BM=2，即可得到M的坐标，由题意得A(-6，0)，根据待定系数法，即可得到答案；
（2）连接AD，设点D(0，m)，结合，△AOD的面积为21，求得m的值为±7，分两种情况：①当D(0，-7)时，②当D(0，7)时，分别求出点C的坐标即可；
（3）由四边形AMA'N为矩形，且MA = MA'，得四边形AMA'N为正方形，分两种情况：①当点N在x轴上方时，②当点N在x轴下方时，分别求出点N的坐标即可．
（1）∵点B的坐标为(0，6)，∠BAO=30°，∠AOB=90°，
∴BO=6，AO=6，
∴A(-6，0)，
把(0，6)，(-6，0)，代入y＝kx+b，得
，解得：
，
∴直线l1的解析式为：y＝x+6，
过点B作BH⊥l1于点H，如图1，
∵l1∥l2，
∴∠BMH=∠OBA=90°-30°=60°，
∴∠MBH=30°，
∵BH=3，
∴BM=3÷×2=2，
∴M(0，6+2)；
（2）连接AD，设点D(0，m)，
由题意得：
OAOD=21，
∴×6×
=21，解得：m=±7，
①当D(0，-7)时，过点C作CN⊥y轴于点N，如图2，
∵CD⊥l2，
∴∠CDB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
∵BD=OB+OD=6+7=13，
∴CD=13÷2×=
，CN=CD=，DN=CN=
，
∴ON=-7=，
∴C(-，)；
②当D(0，7)时，同理可得：C(，)，
综上所述：点C的坐标为：(-，)或(，)；
（3）存在，理由如下：
∵四边形AMA'N为矩形，且MA = MA'，
∴四边形AMA'N为正方形，
∴AN=AM，
①当点N在x轴上方时，过点N作NH⊥x轴于点N，如图3，
∵∠AHN=∠MAN=∠AOM=90°，
∴∠HAN+∠OAM=∠OAM+∠AMO=90°，
∴∠HAN=∠AMO，
∴AHNMOA（AAS），
∴NH=OA=6，AH=OM=6+2，
∴OH=AH+OA=6+8，
∴N(-6-8，6)，
②当点N在x轴下方时，过点N作NH⊥x轴于点N，如图4，
同理可得：AHNMOA（AAS），
∴NH=OA=6，AH=OM=6+2，
∴OH=AH-OA=6-4，
∴N(6-4，-6)，
综上所述：点N的坐标为：(-6-8，6)或(6-4，-6)．
图1 图2
图3 图4
