Question

矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：
（1）将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：

（2）要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的

 

相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是

 

．
（3）如下图菱形ABCD，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=

1

2

a2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来说明．

Answer 1

分析：（1）根据在平行四边形中，邻边相等的是菱形，邻边垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，可根据此关系来画图．
（2）根据正方形的判定方法进行解答即可．即两种常见的方法：①一组邻边相等的矩形是正方形．②一个角是直角的菱形是正方形．
（3）本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，将正方形分成两个直角三角形的面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来求证．

解答：解：（1）如下图

（2）一组邻边、直角．
（3）结论正确；证明：如下图，
S_{正方形ABCD=}S_△AOB+S_△AOD+S_△COD+S_△BOC=4×

1

2

×

1

2

a×

1

2

a=

1

2

a²．

点评：本题是考查菱形的性质及正方形的判定方法，判定一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，常用方法有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．