Question

（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；
（2）分别求出等边三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠BAC，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O切线；

（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OB=BD=OD=2，
∴BM=DM=1，
由勾股定理得：OM=

3

，
∴阴影部分的面积S=S_扇形DOB-S_△DOB=

60π•22

360

-

1

2

×2×

3

=

2

3

π-

3

．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠ABD+⊕DBC=90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．