题目内容

(2001•黄冈)已知一个二次函数的图象经过A(4,-3),B(2,1)和C(-1,-8)三点.
(1)求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点M,N(M在N的左边)的坐标.
(2)若以线段MN为直径作⊙G,过坐标原点O作⊙G的切线OD,切点为D,求OD的长.
(3)求直线OD的解析式.
(4)在直线OD上是否存在点P,使得△MNP是直角三角形?如果存在,求出点P的坐标(只需写出结果,不必写出解答过程);如果不存在,请说明理由.
分析:(1)已知函数图象上三个不同点的坐标,利用待定系数法即可求得抛物线的解析式;再令函数值为0,就能求出点M、N的坐标(注意它们的位置).
(2)在(1)题中,已经求得了M、N的坐标,则线段OM、ON的长可知,直接利用切割线定理即可求出OD的长.
(3)利用待定系数法求直线OD的解析式,必须先求出点D的坐标;连接圆心和切点,过点D作x轴的垂线OE(垂足为E),首先由半径长和OD的长求出∠DOG的度数,然后在Rt△ODE中,通过解直角三角形求出DE、OE的长,则点D的坐标可知,由此得解(需要注意的是:点D可能在x轴上方,也可能在x轴下方,所以直线OE的解析式应该有两个).
(4)在(3)中,已经知道共有两条直线OD,所以要分两种大的情况讨论,它们的解答方法是一致的,以点P在x轴上方为例进行说明:
①当点M是直角顶点时,MP所在直线与x轴垂直,即M、P的横坐标相同,直接将点M的横坐标代入直线OD的解析式中即可得到点P的坐标;
②当点P是直角顶点时,由圆周角定理知:(2)题的切点D正好符合点P的条件;
③当点N是直角顶点时,方法同①.
解答:解:(1)设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,∵抛物线经过A(4,-3),B(2,1)和C(-1,-8)三点,
-3=16a+4b+c
1=4a+2b+c
-8=a-b+c.
解之,得
a=-1
b=4
c=-3

∴抛物线为y=-x2+4x-3,令y=0,得-x2+4x-3=0,解得x1=1,x2=3.
∴抛物线与x轴的交点坐标为M(1,0),N(3,0).

(2)过原点O作⊙G的切线,切点为D.易知OM=1,ON=3.由切割线定理,得OD2=OM•ON=1×3.
∴OD=
3
,即所求的切线OD长为
3


(3)如右图,连接DG,则∠ODG=90°,DG=1.∵OG=2,∴∠DOG=30°.
过D作DE⊥OG,垂足为E,则DE=OD•sin30°=
3
2
,DE=OD•cos30°=
3
2

∴点D的坐标为D(
3
2
3
2
)或(
3
2
,-
3
2
).从而直线OD的解析式为y=±
3
3
x.

(4)Ⅰ、当点P在x轴上方时;
①点M是直角顶点,此时MP1⊥x轴,即M、P1的横坐标相同;
当x=1时,y=
3
3
x=
3
3

即 P1(1,
3
3
);
②当点P是直角顶点时,由(2)知,P2、D重合,即P2
3
2
3
2
);
③当点N是直角顶点,同①可求得 P3(3,
3
).
Ⅱ、当点P在x轴下方时,同Ⅰ可知:P4(1,-
3
3
),P5
3
2
,-
3
2
),P6(3,-
3
).
综上,在直线OD上存在点P,使△MNP是直角三角形.所求P点的坐标为(1,±
3
3
),或(3,±
3
),或(
3
2
,±
3
2
).
点评:此题是几何与代数知识的综合运用,在考查常规知识的同时,结合圆的对称性等渗透了分类讨论思想.解答(3)(4)问时,解题者常拘泥于习惯性思维,只考虑到在x轴上方的切线OD和以P为直角顶点的Rt△MNP这些常见情形,从而导致丢解.作为压轴题,本题(4)问显示出了层次性,由易到难,逐步深入,体现了命题者的匠心.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网