题目内容

己知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，猜想当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，如果其对角线DF的长度为

cm，那么四边形BDEF的面积是多少？请直接写出结论．

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根据旋转角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，延长DF交BE于O，求出∠ABE+∠2=90°，从而得到∠BOD=90°，根据垂直的定义得到BE⊥DF；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=

AD，解答出即可；
（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状，进而求出四边形面积．

解答：

解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠A=90°，
∵AE=AF，
∴AB-AE=AD-AF，
即BE=DF，
∵∠A=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；

（2）成立；
理由：如图②，∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，

AB=AD

∠BAE=∠DAF

AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
延长DF交BE于O，
∵∠ADF+∠1=90°，∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠ABE+∠2=90°，
∴∠BOD=180°-90°=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；

（3）如图③，连接BD，
∵直线DF垂直平分BE，
∴AD+AE=BD，BD=

AD，
∴AE=（

-1）AD；

（4）如图④，连接BE、DF，
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在正方形ABCD中，AB=AD，
又∵∠BAE=∠DAF=α，
∴在△ABE和△ADF中，

AB=AD

∠BAE=∠DAF

AE=AF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
设DF交BE于点P，
∵∠ADY+∠DYA=90°，∠DYA=∠BYP（对顶角相等），
∴∠ABE+∠BYP=90°，
∴BE⊥DF，
故BE=DF，BE⊥DF；
∴顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．
∴四边形BDEF的面积是

=3（cm²）．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及中点四边形的判定，熟记各性质求出三角形全等是解题的关键．