Question

对于二次函数y=ax²+bx+c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：y=x²+2x+2）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式

 

．（不必证明）
（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于

1

2

的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）a和b要么同时为整数，要么同时是分母为2的分数；
（2）利用反证法证明．假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax²+bx+c．①当x=0时y=c，当x=1时y=a+b+c，由整点抛物线定义推知a+b必为整数；②当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c是整数，所以a应为

1

2

的整数倍；综合①②即可得到答案．

解答：解：（1）如：y=

1

2

x2+

1

2

x，y=-

1

2

x2-

1

2

x等等
（只要写出一个符合条件的函数解析式）

（2）解：假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax²+bx+c
当x=0时y=c，当x=1时y=a+b+c，
由整点抛物线定义知：c为整数，a+b+c为整数，
∴a+b必为整数．
又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c是整数，
∴2a必为整数，从而a应为

1

2

的整数倍，
∴|a|≥

1

2

；
∴不存在二次项系数的绝对值小于

1

2

的整点抛物线．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点都在该函数的图象上．