Question

如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆外一点，CA、CB分别交半圆于点D，E若△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，则∠C等于

1. A.
   30°
2. B.
   40°
3. C.
   45°
4. D.
   60°

Answer 1

C
分析：由已知可得到△ABC的面积是△CDE的面积的2倍，根据相似三角形的判定方法从而得到△CDE∽△CDA，根据面积比可求得相似比，从而根据三角函数即可求得∠C的度数．
解答：解：连接AE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
∵△CDE的面积与四边形ABED的面积相等，
∴△ABC的面积是△CDE的面积的2倍．
∵∠CED+∠DEB=180°，∠DEB+∠DAB=180°，
∴∠CED=∠CAB，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA．
∴S_△CDE：S_△CBA=CD²：CB²=1：2．
∴cosC=CD：CB=：2．
∴∠C=45°．
故选C．
点评：本题考查直径对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等知识的综合运用．