题目内容

(2008•宁德)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒(0<x<8),△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米.
(1)求y1与x的函数关系,并在图2中画出y1的图象;
(2)如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4,12),求点P的速度及AC的长;
(3)在图2中,点G是x轴正半轴上一点0<OG<6,过G作EF垂直于x轴,分别交y1、y2的图象于点E、F.
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义;
②当0<x<6时,求线段EF长的最大值.

【答案】分析:(1)已知了CD=3,根据Q点的速度可以用时间x表示出CQ的长,可根据三角形的面积计算公式得出y1,x的函数关系式;
(2)可先求出y2的函数式,然后根据其顶点坐标来确定k的取值.已知了P点走完AC用时8s,因此AC=8k,而AP=kx,CQ=x,那么可根据三角形的面积公式列出关于y2,x的函数关系式,进而可根据顶点坐标求出k的值;
(3)EF其实就是y2-y1,也就是三角形PCQ和CDQ的面积差即三角形PDQ的面积.得出EF的函数关系式后,根据自变量的取值以及函数的性质即可求出EF的最大值.
解答:解:(1)∵S△DCQ=•CQ•CD,CD=3,CQ=x,
∴y1=x(0<x<8).图象如图所示;


(2)S△PCQ=•CQ•CP,CP=8k-xk,CQ=x,
∴y2=×(8k-kx)•x=-kx2+4kx.
∵抛物线顶点坐标是(4,12),
∴-k•42+4k•4=12.
解得k=
则点P的速度每秒厘米,AC=12厘米;

(3)①观察图象,知线段的长EF=y2-y1,表示△PCQ与△DCQ的面积差(或△PDQ面积).
②由(2)得y2=-x2+6x.
∴EF=-x2+6x-x=-x2+x=-(x2-6x+9)+=-(x-3)2+
∵二次项系数小于0,
∴在0<x<6范围,
当x=3时,EF=最大.
点评:本题是一道涉及二次函数、一次函数、三角形的有关知识且包含动点问题的综合题.
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