题目内容
【题目】将一副三角板按如图方式摆放,两个直角顶点重合,∠A=60°,∠E=∠B=45°.
(1)求证:∠ACE=∠BCD;
(2)猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由;
(3)按住三角板ACD不动,绕点C旋转三角板ECB,探究当∠ACB等于多少度时,AD∥CB.请在备用图中画出示意图并简要说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)猜想:∠ACB+∠ECD=180°.理由见解析;(3)当∠ACB=120°或60°时,AD∥CB.理由理由见解析.
【解析】试题分析:
(1)由∠ACD=∠BCE=90°,可得∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE,从而可得∠ACE=∠BCD;
(2)猜想:∠ACB+∠ECD=180°.由∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCD+∠ECD=∠ACD+∠BCE=90°+90°=180°可得结论;
(3)如下图,因为∠A=60°,根据“同旁内角互补,两直线平行和内错角相等,两直线平行”可知,当∠ACB=120°,或∠ACB=60°时,AD∥BC.
试题解析:
(1)∵∠ACD=∠ECB=90°,
∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD,
即∠ACE=∠BCD.
(2)猜想:∠ACB+∠ECD=180°.理由如下:
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB
∴∠ACB+∠ECD
=∠ACD+∠DCB+∠ECD
又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB,
∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.
(3)当∠ACB=120°或60°时,AD∥CB.理由如下:
①如图1,根据“同旁内角互补,两直线平行”:
当∠A+∠ACB=180°时,AD∥BC,
此时,∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°.
②如图2,根据“内错角相等,两直线平行”:
当∠ACB=∠A=60°时,AD∥BC.
综上所述,当∠ACB=120°或60°时,AD∥BC.