题目内容
【题目】如图,抛物线与x轴交于两点A(﹣4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2),动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动,过点D作x轴的垂线,交△ABC的另一边于点E,将△ADE沿DE折叠,使点A落在点F处,设点D的运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)是否存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式.
【答案】(1) ,对称轴为:直线x=﹣
;(2)t=
或
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)把A(﹣4,0),B(1,0),点C(0,2)即可得到结论;
(2)由题意得AD=2t,DF=AD=2t,OF=4﹣4t,由于直线AC的解析式为: ,得到E(2t﹣4,t),①当∠EFC=90°,则△DEF∽△OFC,根据相似三角形的性质得到结论;②当∠FEC=90°,根据等腰直角三角形的性质得到结论;③当∠ACF=90°,根据勾股定理得到结论;
(3)求得直线BC的解析式为:y=﹣2x+2,当D在y轴的左侧时,当D在y轴的右侧时,如图2,根据梯形的面积公式即可得到结论.
试题解析:解:(1)把A(﹣4,0),B(1,0),点C(0,2)代入得:
,解得:
,∴抛物线的解析式为:
,对称轴为:直线x=﹣
;
(2)存在,∵AD=2t,∴DF=AD=2t,∴OF=4﹣4t,∴D(2t﹣4,0),∵直线AC的解析式为: ,∴E(2t﹣4,t),∵△EFC为直角三角形,分三种情况讨论:
①当∠EFC=90°,则△DEF∽△OFC,∴ ,即
,解得:t=
;
②当∠FEC=90°,∴∠AEF=90°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴DE=AF,即t=2t,∴t=0,(舍去),③当∠ACF=90°,则AC2+CF2=AF2,即(42+22)+[22+(4t﹣4)2]=(4t)2,解得:t=
,∴存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形,此时,t=
或
;
(3)∵B(1,0),C(0,2),∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+2,当D在y轴的左侧时,S=(DE+OC)OD=
(t+2)(4﹣2t)=﹣t2+4 (0<t<2);
当D在y轴的右侧时,如图2,∵OD=4t﹣4,DE=﹣8t+10,S=(DE+OC)OD=
(﹣8t+10+2)(4t﹣4),即
(2<t<
).
综上所述:
