题目内容

如图:已知a为正常数,F1(-,0),F2,0),过F2作直线l,点A,B在直线l上,且满足AF1-AF2=BF1-BF2=2a,M,N分别为△AF1F2,△BF1F2的内切圆的圆心.
(1)设⊙M与F1F2相切于点P1,⊙N与F1F2切于点P2,试判断P1与P2的位置关系,并加以证明;
(2)已知sin∠BF2F1=,且MN=,试求a的值.

【答案】分析:(1)解题的关键是能够根据切线长定理把其中的线段进行转换;
(2)结合(1)中的结论,根据两圆相切的性质得到三点共线,充分利用切线的性质构造一个直角梯形.作另一高,根据锐角三角函数的概念求得NH,即DE的长.再根据切线长定理以及(1)的结论,得到F1F2的关于a的关系式,再结合已知条件得到关于a的方程,列方程求解.
解答:解:(1)P1与P2重合.
证明:由题意得AC=AD,
∵AF1-AF2=2a,
∴CF1-DF2=2a;
又∵F1C=F1P1F2D=F2P1
∴P1F1-P1F2=2a,
同理P2F1-P2F2=2a,
∴P1与P2重合.

(2)由(1)知:MP1⊥F1F2,NP2⊥F1F2,P1,P2重合.
∴M,P1,N共线,且MN⊥F1F2
连接MN,NE,MD,则∠NED=∠MDE=90°
过N作NH⊥MD,H为垂足;
∵∠MP1F2=∠MDF2=90°,∠HMN=∠BF2F1
∴sin∠HMN=sin∠BF2F1=
又MN=
∴NH=MNsin∠HMN=4,
∴ED=4;
而DF2=F2P1=F2E,
∴F2P1=2,
又由(1)P1F1-P1F2=2a,
∴P1F1=2+2a,
∴P1F1+P1F2=2+2+2a=2
解得a=4.
点评:此题综合运用了切线长定理、锐角三角函数的概念和两圆相切的性质.
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