Question

如图，已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，直线AD，BC相交于点E，F是弦CD的中点，直线EF交弦AB于点G，求证：
（1）ED•EA=EC•EB；
（2）AG：GB=AE²：BE²．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，据此性质证△EDC∽△EAB，从而得证；
（2）根据三角形面积公式和CF=DF求出，

S△DEF

S△CEF

=1，由正弦定理推出

S△DEF

S△CEF

=1根据△EDC∽△EAB求出

sin∠DEF

sin∠CEF

=

EA

EB

，根据三角形面积公式求出

S△AEG

S△BEG

=

AG

BG

=

AE

BE

•

sin∠DEF

sin∠CEF

，代入求出即可．

解答：证明：
（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DCE=∠A，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EAB
∴

ED

EB

=

EC

EA

故ED•EA=EC•EB；
（2）证明：∵△DEF的边DF和△CEF的边CF上的高相等，
∵CF=DF，
∴

S△DEF

S△CEF

=1，
由正弦定理得：

S△DEF

S△CEF

=

1 2 DE•EFsin∠DEF

1 2 CE•EFsin∠CEF

=

DEsin∠DEF

CEsin∠CEF

=1
∵△EDC∽△EAB
∴

DE

CE

=

EB

EA

，
∴

EBsin∠DEF

EAsin∠CEF

=1，
∴

sin∠DEF

sin∠CEF

=

EA

EB

，
∵△AEG边AG和△BEG边CG上的高相等，
∴

S△AEG

S△BEG

=

AG

BG

=

1 2 AE•EGsin∠AEG

1 2 BE•EGsin∠BEG

=

AE

BE

•

sin∠DEF

sin∠CEF

=

AE

BE

×

AE

BE

，
即

AG

BG

=

AE2

BE2

．

点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是运用好圆内接四边形的性质和三角形的面积公式．